ejemplo
obtner la ecuación ordinaria de la parábola cuando tenemos un vértice en el punto
v(3,-1) y la ecuación de la directriz es y=2
El vértice siempre tiene la forma V(h, k). En nuestro caso
h = 3
k = -1
Como la directriz es una recta horizontal (y = 2), deducimos que la parábola es vertical (abre hacia arriba o hacia abajo).
Como la coordenada "y" del vértice (o sea "k", -1) es menor que la de la directriz (2), deducimos que la parábola abre hacia abajo ya que si abriese hacia arriba en algún momento se cruzaría con la directriz, y eso no es posible.
La distancia del vértice a la directriz es "p":
p = | -1 - 2 | . . . coordenadas "y" del vértice y de la directriz, porque la parábola es vertical
p = | -3 |
p = 3
Ya conocemos "h", "k" y "p", que es todo lo necesario para definir la ecuación.
Como la parábola abre hacia abajo, su ecuación tiene la forma
(x - h)² = - 4p(y - k)
Ahora solamente reemplazamos los valores conocidos:
(x - 3)² = - 4(3)[ y - (-1) ]
(x - 3)² = -12(y + 1)
lunes, 13 de diciembre de 2010
¿Cuál es la ecuacion ordinaria y general de la parábola?
Ordinaria:
(h,k)=coordenadas del vértice
a= distancia de vértice al foco.
(y-k)²=4a(x-h) con eje de simetría paralelo al eje x.
(x-h)²=4a(y-k) con eje de simetría paralelo al eje y.
(h,k)=coordenadas del vértice
a= distancia de vértice al foco.
(y-k)²=4a(x-h) con eje de simetría paralelo al eje x.
(x-h)²=4a(y-k) con eje de simetría paralelo al eje y.
Parábola (matemática)
En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a sugeneratriz.1
Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.
En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en unaproyectividad semejante o semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.
Circunferencia Con Centro Fuera Del Origen
Ecuaciones ordinarias de las cónicas
Circunferencia
Por definición, la circunferencia es la curva en donde todos sus puntos equidistan de otro llamado centro. Si la circunferencia tiene centro en el origen, la ecuación es:
x2 + y2 = r2
donde x y y denotan a las coordenadas rectangulares de un punto de la curva y r es el radio de la circunferencia. Esta forma es en realidad el Teorema de Pitágoras donde se consideran todos los triángulos rectángulos con hipotenusa constante e igual a r.
Si el centro de la circunferencia se encuentra fuera del origen, en las coordenadas (h,k), la ecuación queda:
(x-h)2 + (y-k)2 = r2
También es posible calcular
Curvas Cónicas
Curvas Cónicas
Sección Cónica
En geometría, una sección cónica es cualquier curva producida por la intersección de un plano y un cono recto triangular. Dependiendo de el ángulo de el plano relativo al cono, la intersección es un círculo, un elipse, una hipérbola o una parábola.
Las Cónicas se pueden describir como curvas planas que son los caminos de un punto en movimiento para que el radio de su distancia forme un punto arreglado (foco) a la distancia de la línea determinada (directriz) que es constante.
Si la excentricidad es cero, la curva forma un círculo, si es igual a dos, forma una parábola, si es menor a uno, forma un elipse, y si es mayor a uno, forma una hipérbola.
Elipse
Es una cueva cerrada, la intersección de un cono circular recto, y un plano no paralelo a su base, el eje o algún elemento de el cono.
Otra definición de un elipse es, que el locus de los puntos por los cuales la suma de sus distancias de dos puntos determinados, es constante. Entre más pequeña sea la distancia de el foco, la excentricidad disminuirá y el elipse se parecerá más a un círculo. El eje menor es perpendicular al eje mayor por el centro en el punto en el que la distancia es igual de el foco.
Círculo
Círculo
Un circulo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo,
llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.
Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia.
llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.
Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia.
En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la primera:
una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida
mientras que se denomina circunferencia a la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud.
"Aunque ambos conceptos están relacionados,
no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)."
Circunferencia ( Elementos de la circunferencia )
Circunferencia
Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro;
esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro.
Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia.
La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud.
Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una
circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro.
Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia.
La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud.
Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una
circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales.
También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica,
o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica,
o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad
o circunferencia goniométrica .
o circunferencia goniométrica .
Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.
Elementos de la circunferencia
centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
- radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
- diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;
- cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
- recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
- recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
- punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
- arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
- semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
Distancia entre rectas paralelas
Distancia entre rectas paralelas
La distancia de una recta, r, a otra paralela, s, es la distancia desde un punto cualquiera de r a s.
Distancia entre rectas que se cruzan
Distancia entre rectas que se cruzan
La distancia entre dos sectas que se cruzan se mide sobre la perpendicular común.
Sean 
y 
las determinaciones lineales de las rectas r y s.
y las determinaciones lineales de las rectas r y s.
Los vectores 
determinan paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las dos rectas.
determinan paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las dos rectas.El volumen de un paralelepípedo es 
.
.Teniendo en cuenta el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores y el área de la base es el producto vectorial de los vectores directores de las rectas, la altura, es decir, la distancia entre los dos puntos es igual a:
Ejemplo
Hallar la mínima distancia entre las rectas:
La ecuación general de la recta
La ecuación general de la recta es de la siguiente forma:
Ax+By+C=0
PROPIEDADES DE LA RECTA:
I. Dos rectas se intersecan en un punto, y sólo en uno.
II. Si fuera de una recta se encuentra un punto, el punto y la recta están contenidos en un plano, y sólo en uno.
III. Si dos rectas se intersecan, ambas están contenidos en un plano, y sólo en uno.
IV. Si en una misma recta están tres puntos, no más de uno está situado entre los otros dos.
V. En un rayo existe un punto, y sólo uno, situado a una distancia dada del punto extremo del rayo.
VI. Un segmento tiene un punto medio y sólo uno.
viernes, 20 de agosto de 2010
cacs/M3
LA GEOMETRIA ANALITICA
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.
Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones poli nómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones poli nómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1).
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones poli nómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones poli nómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1).
Localización de un punto en el plano cartesiano
Como distancia a los ejes
Ejemplos de ocho puntos localizados en el plano cartesinao mediante sus pares de coordenadas.
En un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) —que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).
En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso).
A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.
Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, así que serán de la forma (x,0), mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a 0, por lo que serán de la forma (0,y).
El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia 0 a cada uno de los ejes, luego su abscisa será 0 y su ordenada también será 0. A este punto —el (0,0)— se le denomina origen de coordenadas.
[editar] Como proyección sobre los ejes
Se consideran dos rectas orientadas, (ejes) , perpendiculares entre sí, x e y, con un origen común, el punto O de intersección de ambas rectas.
Teniendo un punto P, al cual se desea determinar las coordenadas, se procede de la siguiente forma:
Por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, éstas determinan en la intersección con los mismos dos puntos, P' (el punto ubicado sobre el eje x) y el punto P´´ ( el punto ubicado sobre el eje y).
Dichos puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del punto P.
A los Puntos P' y P´´ le corresponden por número la distancia desde ellos al origen, teniendo en cuenta que si el punto P'se encuentra a la izquierda de O, dicho número será negativo, y si el punto P´´ se encuentra hacia abajo del punto O, dicho número será negativo. Los números relacionados con P' y P´´, en ese orden son los valores de las coordenadas del punto P.
Ejemplo 1: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 2 unidades. P´´ se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 3 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (2 ; 3)
Ejemplo 2: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 4 unidades. P´´ se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 5 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (4 ; -5)
Ejemplo 3: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 3 unidades. P´´ se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 2 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-3 ; -2)
Ejemplo 4: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 6 unidades. P´´ se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 4 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-6 ; 4).
Ejemplos de ocho puntos localizados en el plano cartesinao mediante sus pares de coordenadas.
En un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) —que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).
En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso).
A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.
Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, así que serán de la forma (x,0), mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a 0, por lo que serán de la forma (0,y).
El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia 0 a cada uno de los ejes, luego su abscisa será 0 y su ordenada también será 0. A este punto —el (0,0)— se le denomina origen de coordenadas.
[editar] Como proyección sobre los ejes
Se consideran dos rectas orientadas, (ejes) , perpendiculares entre sí, x e y, con un origen común, el punto O de intersección de ambas rectas.
Teniendo un punto P, al cual se desea determinar las coordenadas, se procede de la siguiente forma:
Por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, éstas determinan en la intersección con los mismos dos puntos, P' (el punto ubicado sobre el eje x) y el punto P´´ ( el punto ubicado sobre el eje y).
Dichos puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del punto P.
A los Puntos P' y P´´ le corresponden por número la distancia desde ellos al origen, teniendo en cuenta que si el punto P'se encuentra a la izquierda de O, dicho número será negativo, y si el punto P´´ se encuentra hacia abajo del punto O, dicho número será negativo. Los números relacionados con P' y P´´, en ese orden son los valores de las coordenadas del punto P.
Ejemplo 1: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 2 unidades. P´´ se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 3 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (2 ; 3)
Ejemplo 2: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 4 unidades. P´´ se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 5 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (4 ; -5)
Ejemplo 3: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 3 unidades. P´´ se encuentra hacia abajo de O, una distancia igual a 2 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-3 ; -2)
Ejemplo 4: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 6 unidades. P´´ se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 4 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-6 ; 4).
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