¿Obtener la ecuación ordinaria de una parábola?

ejemplo
obtner la ecuación ordinaria de la parábola cuando tenemos un vértice en el punto
v(3,-1) y la ecuación de la directriz es y=2

El vértice siempre tiene la forma V(h, k). En nuestro caso
h = 3
k = -1

Como la directriz es una recta horizontal (y = 2), deducimos que la parábola es vertical (abre hacia arriba o hacia abajo).

Como la coordenada "y" del vértice (o sea "k", -1) es menor que la de la directriz (2), deducimos que la parábola abre hacia abajo ya que si abriese hacia arriba en algún momento se cruzaría con la directriz, y eso no es posible.

La distancia del vértice a la directriz es "p":
p = | -1 - 2 | . . . coordenadas "y" del vértice y de la directriz, porque la parábola es vertical
p = | -3 |
p = 3

Ya conocemos "h", "k" y "p", que es todo lo necesario para definir la ecuación.
Como la parábola abre hacia abajo, su ecuación tiene la forma
(x - h)² = - 4p(y - k)
Ahora solamente reemplazamos los valores conocidos:
(x - 3)² = - 4(3)[ y - (-1) ]
(x - 3)² = -12(y + 1)

¿Cuál es la ecuacion ordinaria y general de la parábola?

Ordinaria:
(h,k)=coordenadas del vértice
a= distancia de vértice al foco.

(y-k)²=4a(x-h) con eje de simetría paralelo al eje x.
(x-h)²=4a(y-k) con eje de simetría paralelo al eje y.

Parábola (matemática)

En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a sugeneratriz.¹

Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.

En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en unaproyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.

Secciones cónicas.

Circunferencia Con Centro Fuera Del Origen

Ecuaciones ordinarias de las cónicas

Circunferencia

Por definición, la circunferencia es la curva en donde todos sus puntos equidistan de otro llamado centro. Si la circunferencia tiene centro en el origen, la ecuación es:

x2 + y2 = r2

donde x y y denotan a las coordenadas rectangulares de un punto de la curva y r es el radio de la circunferencia. Esta forma es en realidad el Teorema de Pitágoras donde se consideran todos los triángulos rectángulos con hipotenusa constante e igual a r.

Si el centro de la circunferencia se encuentra fuera del origen, en las coordenadas (h,k), la ecuación queda:

(x-h)2 + (y-k)2 = r2

También es posible calcular

Curvas Cónicas

Curvas Cónicas

Sección Cónica

En geometría, una sección cónica es cualquier curva producida por la intersección de un plano y un cono recto triangular. Dependiendo de el ángulo de el plano relativo al cono, la intersección es un círculo, un elipse, una hipérbola o una parábola.

Las Cónicas se pueden describir como curvas planas que son los caminos de un punto en movimiento para que el radio de su distancia forme un punto arreglado (foco) a la distancia de la línea determinada (directriz) que es constante.

Si la excentricidad es cero, la curva forma un círculo, si es igual a dos, forma una parábola, si es menor a uno, forma un elipse, y si es mayor a uno, forma una hipérbola.

Elipse

Es una cueva cerrada, la intersección de un cono circular recto, y un plano no paralelo a su base, el eje o algún elemento de el cono.

Otra definición de un elipse es, que el locus de los puntos por los cuales la suma de sus distancias de dos puntos determinados, es constante. Entre más pequeña sea la distancia de el foco, la excentricidad disminuirá y el elipse se parecerá más a un círculo. El eje menor es perpendicular al eje mayor por el centro en el punto en el que la distancia es igual de el foco.

Círculo

Un circulo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo,
llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.
Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia.

En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la primera:

una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida

mientras que se denomina circunferencia a la curva geométrica plana, cerrada,
cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud.
"Aunque ambos conceptos están relacionados,
no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)."

Circunferencia ( Elementos de la circunferencia )

Circunferencia

Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro;
esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro.
Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia.
La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud.
Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una
circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales.
También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica,
o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad
o circunferencia goniométrica .

Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.

Secantes, cuerdas y tangentes.

Elementos de la circunferencia

centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;

diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;

cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;

recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;

recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;

punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;

arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;

semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Distancia entre rectas paralelas

La distancia de una recta, r, a otra paralela, s, es la distancia desde un punto cualquiera de r a s.

Distancia entre rectas que se cruzan

La distancia entre dos sectas que se cruzan se mide sobre la perpendicular común.

Sean

las determinaciones lineales de las rectas r y s.

Los vectores

determinan paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las dos rectas.

El volumen de un paralelepípedo es

Teniendo en cuenta el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores y el área de la base es el producto vectorial de los vectores directores de las rectas, la altura, es decir, la distancia entre los dos puntos es igual a: